Введение

Музыкальная шкала служит основой мелодии и гармонии практически в каждой музыкальной традиции во всем мире.Масштаб — это не простая последовательность нот, а тщательно структурированная система высот, отражающая века экспериментов, культурных предпочтений и математического озарения.Понимание истории музыкальной шкалы показывает, как люди стремились навести порядок в бесконечном континууме звука, уравновешивая эстетическую красоту с физическими и математическими принципами.Эволюция шкалы прослеживается от ее древних истоков до современных инноваций, подчеркивая математические основы, которые сформировали ее развитие.

Оригинальное название: The Birth of Musical Ratios

Самые ранние систематические исследования природы музыкальных интервалов произошли в Древней Греции, около 6-го века до нашей эры Философу и математику Пифагору приписывают открытие, что созвучие музыкальных интервалов соответствует простым числовым соотношениям длин струн. Используя монохорд — единую струну, растянутую над резонатором, Пифагор продемонстрировал, что деление струны на половину производит шаг на октаву выше (соотношение 2:1), в то время как разделение ее на две трети производит идеальную пятую (соотношение 3:2), а разделение ее на три четверти производит идеальную четвертую (соотношение 4:3). Эти результаты установили прямую связь между математикой и восприятием гармонической красоты.

Греки построили свои шкалы, или harmoniai], используя тетрахорды — группы из четырёх нот, охватывающих идеальную четвертую.Изменяя внутреннее расположение интервалов внутри тетрахорда, они создали различные режимы, такие как Дориан, Фригиан и Лидиан. Пифагор и его последователи разработали систему настройки Пифагора, которая вывела все интервалы, укладывая идеальные пятые (3:2 отношения) и уменьшая результаты в пределах одной октавы. Эта система произвела чистые пятые и четвертые, но привела к небольшому расхождению, позже известному как Пифагоровая запятая ], когда цикл пятых не полностью закрывался после семи октав. Запятая, примерно 23,5 цента (цент, являющийся сотой от полутона), стала центральной проблемой для более поздних теоретиков настройки.

Пифагоровая настройка и запятая

Пифагорейская система настройки генерирует двенадцать нот, многократно умножая начальную частоту на 3/2 (идеальная пятая), а затем деля на 2 всякий раз, когда результат превышает октаву. После двенадцати таких шагов конечная нота близка к начальной ноте, но не идентична. Эта разница — запятая Пифагора — увеличивается, потому что 12 пятых не равны 7 октав точно: (3/2)12 ≠ 27. Результирующее расхождение около 23 центов заставило музыкантов выбирать, какие интервалы настраивать чисто, что привело к компромиссам, которые повлияли на эволюцию темперамента.

Несмотря на свои недостатки, пифагорейская настройка доминировала в западной музыке более тысячелетия.Его математическая ясность привлекала ученых, которые рассматривали музыку как отражение космического порядка, концепции, известной как musica universalis или музыка сфер.

Средневековье и просто интонация

В средневековый период музыканты начали выходить за рамки строгой пифагорейской системы. Рост полифонии — множественных независимых голосов, поющих вместе — требовал интервалов, которые были более звучными, чем слегка узкие трети и шестые, произведенные пифагорейской настройкой. К 13 веку теоретики, такие как Бартоломе Рамос де Пареха, выступали за просто интонацию , систему, которая использует небольшие отношения целых чисел для всех интервалов в масштабе. Например, основная треть настроена как 5:4, незначительная треть как 6:5, а идеальная пятая остается 3:2. Просто интонация производит изысканно чистые трети, но она жертвует способностью свободно модулировать между клавишами, потому что отношения не стекаются последовательно.

Просто интонация подчеркивает фундаментальное напряжение в настройке: стремление к идеальному созвучию против необходимости практической гибкости. Любая шкала, основанная на чистых интервалах, неизбежно будет производить неподходящие ноты, когда одни и те же смолы используются в разных гармонических контекстах. Это напряжение стимулировало более поздние инновации, особенно развитие темперамента.

Роль арабских и персидских ученых

В то время как Западная Европа совершенствовала свои масштабы, исламский мир внес значительный вклад в теорию музыки. Такие мыслители, как Аль-Фараби (9-10 век) и Ибн Сина (Авиценна), расширили греческую математику, исследуя подразделения октавы на более чем двенадцать частей. Аль-Фараби описал 17-тонную шкалу в своей Китаб аль-Мусики аль-Кабир (Великая книга музыки), а персидские музыканты использовали 24-тонную систему для микротонального орнамента. Эти системы повлияли на более поздние европейские разработки, включая идею равного темперамента, посредством переводов и культурного обмена вдоль торговых путей.

Восхождение равного темперамента

Проблема пифагорейской запятой и ограничения просто интонации обострилась в периоды Возрождения и барокко, поскольку композиторы все чаще использовали хроматизм и модуляции к дальним ключам. Решением, которое в конечном итоге победило, был равный темперамент, система, в которой октава разделена на двенадцать равных полутонов, каждый с частотным соотношением 2^(1/12):1. В равном темпераменте ни один интервал, кроме октавы, не является совершенно чистым, но все интервалы одинаково не настроены — компромисс, который позволяет музыке играть в любом ключе без перенастройки.

Математическая основа равного темперамента опирается на логарифмы и экспоненциальные функции. Октава делится геометрически: каждый полутон умножает частоту на двенадцатый корень 2 (примерно 1,05946). Это экспоненциальное соотношение означает, что добавление равных полутонов соответствует умножению частот на постоянный фактор, свойство, которое концептуально понимал еще до изобретения логарифмов Джоном Напье в начале 17 века. Самые ранние известные предложения о равном темпераменте появились в 16 веке, отстаиваемые такими теоретиками, как Винченцо Галилео (отец Галилея) и китайский принц Чжу Зайю, самостоятельно вычисливший двенадцатый корень 2 с замечательной точностью.

Исторические достопримечательности: от Веркмайстера до Баха

Многие практикующие барокко, в том числе Андреас Веркмайстер (1645-1706), разработали нулевые темпераменты — системы, которые не были полностью равны, но позволяли модулировать большинство клавиш, сохраняя при этом некоторую чистоту в общих тониках. Самый известный темперамент Веркмайстера, опубликованный в 1691 году, использовал смесь чистых и закаленных пятых для создания характерного разнообразия ключевых цветов. Хорошо вспыльчивый клавир Иоганна Себастьяна Баха Хорошо темперированный клавир (1722 и 1742) был написан, чтобы продемонстрировать возможности клавиатуры, настроенной на хороший темперамент, хотя он часто ошибочно приписывается как доказательство равного темперамента. Истинный равный темперамент стал широко распространенным только в 19 веке, обусловленный необходимостью стандартизации в оркестрах и разработке фортепиано, которые могли бы поддерживать стабильную настройку. К концу 1800-х годов равный темперамент был

Математика больших и малых масштабов

В равном темпераменте строятся мажорная и минорная шкалы с использованием специфического рисунка целых шагов (двух полутонов) и полушария (одного полутона).Мажорная шкала следует за рисунком W-W-H-W-W-W-H, где W — целый шаг, а H — полушаг. Эта шкала, которая применяется к любому стартовому ключу, даёт последовательность интервалов относительно тоника: идеальный унисон, мажор второй, мажор третий, идеальный четвёртый, идеальный пятый, мажор шестой, мажор седьмой и октава.Математические соотношения между этими нотами в равном темпераменте — иррациональные числа (поскольку двенадцатый корень из 2 — иррациональный), но они приближаются к простым отношениям просто интонации.Например, равномерная мажорная треть (400 центов) близка к справедливой мажорной трети (386 центов), но разница в 14 центов слышна тренированным ушам.

Естественная минорная шкала с рисунком W-H-W-W-W-W-W-W-W также обеспечивает набор интервалов, которые могут быть настроены на формирование гармонических или мелодичных минорных шкал посредством хроматических изменений.Математическая согласованность равномерной системы позволяет этим паттернам беспрепятственно транспонироваться, особенность, на которую композиторы и исполнители полагаются для модуляции.

Культурные вариации: масштабы за пределами Запада

История музыкальных весов не ограничивается Западной Европой.Различные культуры разработали сложные системы настройки, отражающие собственные математические принципы и эстетические чувствительности.

Индийская классическая музыка и 22 шрути

Индийская теория музыки, относящаяся к Натья Шастра (c. 200 BCE—200 CE), описывает деление октавы на 22 микротональных интервала, называемых шрути . В отличие от равномерного полутона, шрути не равны по размеру; их размещение варьируется в зависимости от раги (мелодический режим). 22 шрути происходят из комбинации естественных интервалов, включая чистую четвертую (4:3), пятую (3:2) и октаву (2:1). Индийская система отдает предпочтение мелодической выразительности над гармонической чистотой, используя тонкие изгибы тона и микротональные орнаменты (гамаки), которые не могут быть захвачены двенадцатисемитонной сеткой.

Китайские пентатонические и двенадцать люйские шкалы

Китайская музыка опиралась на пентатоническую (пятинограммовую) шкалу на протяжении большей части своей истории, причем основные ноты соответствовали примерно черным клавишам на фортепиано (C, D, E, G, A). Однако теоретической основой китайской настройки была система двенадцать лю, приписываемая легендарному Лин Луну около 2700 г. до н.э. Эта система генерировала двенадцать полей по циклу восходящих пятых (3:2 соотношение), аналогичная пифагорейской настройке. Настройка не была равной; каждый шаг производил немного другой интервал. К 16-му веку Чжу Зайю самостоятельно вычислил равный темперамент, но традиционная китайская музыка продолжала благоприятствовать пентатонической структуре.

Арабский и турецкий макам

Арабская музыка использует систему maqam (режимы), которая включает в себя четверть тонов — интервалы примерно 50 центов, половина размера полутона. Октава разделена на 24 равные части (24-тонный равный темперамент) в некоторых современных интерпретациях, хотя традиционная практика использует различные умеренные и чистые интервалы. Система 24-четвертного тона позволяет создавать сложную мелодичную микротональность, которая является центральной для выразительного характера арабской и турецкой классической музыки.

Современные перспективы: микротональность и за ее пределами

20-й и 21-й века видели возрождение интереса к альтернативным настройкам, бросая вызов гегемонии равного темперамента. Композиторы, такие как Гарри Парч (1901–1974), построили пользовательские инструменты, основанные только на шкалах интонации с 43 нотами на октаву, используя соотношения, такие как 11:8 и 13:8. Книга Парча о генезисе музыки описывает подробную теорию монофонии — система, где каждый интервал настроен на простое соотношение, создавая богатую гармоническую палитру. Его масштаб происходит из овертона, физически произведенного разделением строки на конкретные длины.

Другой значимой фигурой является Венди Карлос, которая исследовала альтернативные равные темпераменты, такие как 19-, 31- и 53-тонные деления, в своем альбоме Красота в Звере (1986). Равный темперамент 53-тонного типа, например, предлагает отличное приближение только интервалов, обеспечивая больше градусов на октаву, уменьшая ошибки приближения, которые преследуют 12-тонный равный темперамент. n , математическая логика этих делений заключается в том, что для данного числа шагов f f = 440 × 2^, где k k является числом шагов.n увеличивается, система может приблизиться к малым целым отношениям более близко.

Роль цифрового аудио и микротонального программного обеспечения

Современные технологии демократизировали доступ к микротональной музыке. Программные синтезаторы и цифровые аудио рабочие станции позволяют музыкантам определять произвольные масштабы с любым количеством равных или неравных шагов. Такие инструменты, как Scala (свободное программное обеспечение для тюнинг-анализа) и синтезаторы, поддерживающие MTS (MIDI Tuning Standard), позволяют исполнителям экспериментировать с историческими и новыми тюнингами в реальном времени. Это привело к возрождению пифагорейской настройки, просто интонации и других исторических систем в современной композиции.

Оригинальное название: The Endless Unfolding of Mathematical Beauty

История музыкального масштаба является свидетельством стремления человека понять и организовать звук через призму математики. От простых соотношений Пифагора к сложной равномерной системе, которая лежит в основе большинства современной западной музыки, каждый этап эволюции включал компромиссы между чистотой, гибкостью и практичностью. История не заканчивается с одинаковым темпераментом; современные исследования микротональности и цифровой настройки продолжают раздвигать границы того, что музыкально возможно. Ценяя эти математические основы, мы получаем более глубокое понимание структуры самой музыки - и универсальных моделей, которые связывают искусство, науку и космос.

Для дальнейшего чтения по Пифагоровой запятой и теории настройки, обратитесь к статье Википедии по Пифагоровой запятой. История равного темперамента хорошо документирована в , этот обзор. Для введения к просто интонации, см. Страница справедливой интонации. Те, кто интересуется микротональной музыкой, могут исследовать Микротональную музыку в Википедии. Наконец, уникальный подход Гарри Парча описан в его биографии и работах.