Présentation

L'échelle musicale sert de cadre fondamental à la mélodie et à l'harmonie dans pratiquement toutes les traditions musicales du monde. Loin d'être une simple séquence de notes, l'échelle est un système d'emplacements soigneusement structuré qui reflète des siècles d'expérimentation, de préférence culturelle et de perspicacité mathématique. Comprendre l'histoire de l'échelle musicale révèle comment les humains ont cherché à imposer l'ordre sur le continuum infini du son, en conciliant beauté esthétique avec les principes physiques et mathématiques.

Les débuts anciens : la naissance des ratios musicaux

Les premières recherches systématiques sur la nature des intervalles musicaux se sont déroulées en Grèce antique, vers le 6ème siècle avant notre ère. Le philosophe et mathématicien Pythagore est crédité de découvrir que la consonance des intervalles musicaux correspond à des rapports numériques simples de longueurs de cordes. L'utilisation d'un monocord – une seule corde étendue sur un résonateur – Pythagore a démontré que la division d'une corde en deux produit une octave plus élevée (ratio 2:1), tout en la divisant en deux tiers produit un cinquième parfait (ratio 3:2), et la division en trois quarts produit un quatrième parfait (ratio 4:3). Ces résultats ont établi un lien direct entre les mathématiques et la perception de la beauté harmonique.

Les Grecs construisirent leurs échelles, ou harmoniai[, en utilisant des groupes de quatre notes couvrant un quatrième parfait. En modifiant l'arrangement interne des intervalles au sein du tétracord, ils créèrent différents modes tels que Dorian, Phrygien et Lydien. Pythagore et ses disciples développèrent le système de réglage Pythagore, qui dériva tous les intervalles en empilant des cinquièmes parfaits (3:2 ratios) et en réduisant les résultats en une seule octave. Ce système produisit des cinquièmes et des quatrièmes purs, mais il engendra une petite divergence, plus tard connue sous le nom de virgule Pythagore[, lorsque le cycle des cinquièmes ne fermait pas parfaitement après sept octaves. La virgule, environ 23,5 cents (un centième de demi-ton), devint un problème central pour les théoriciens qui tangèrent plus tard.

Tuning Pythagore et la Comma

Le système de réglage Pythagore génère douze notes en multipliant à plusieurs reprises la fréquence de départ par 3/2 (un cinquième parfait) puis en divisant par 2 chaque fois que le résultat dépasse une octave. Après douze de ces étapes, la note finale est proche de la note de départ mais pas identique. Cette différence – la virgule Pythagore – s'établit parce que 12 cinquièmes ne sont pas égaux à 7 octaves exactement : (3/2)^12 Φ 2^7. La divergence résultante d'environ 23 cents oblige les musiciens à choisir quels intervalles d'écoute purement, conduisant à des compromis qui ont influencé l'évolution du tempérament.

Malgré ses imperfections, le tuning pythagore a dominé la musique occidentale pendant plus d'un millénaire. Sa clarté mathématique a fait appel aux savants qui ont vu la musique comme un reflet de l'ordre cosmique, un concept connu sous le nom musica universalis ou la musique des sphères.

Le Moyen Âge et juste l'Intonation

Pendant la période médiévale, les musiciens ont commencé à dépasser le système pythagoréen strict. L'élévation de la polyphonie – voix indépendantes multiples chantant ensemble – exigeait des intervalles plus sonores que les tiers et sixièmes légèrement étroits produits par l'accord pythagoréen. Au XIIIe siècle, des théoriciens comme Bartolomé Ramos de Pareja préconisaient juste l'intonation, un système qui utilise des petits rapports de nombre entier pour tous les intervalles à l'intérieur d'une échelle. Par exemple, le tiers majeur est accordé comme 5:4, le tiers mineur comme 6:5 et le cinquième parfait reste 3:2. Juste l'inonnation produit des tiers exquisment purs, mais elle sacrifie la capacité de moduler librement entre les clés parce que les rapports ne s'empilent pas de façon uniforme.

Une simple intonation met en évidence une tension fondamentale dans l'accordage : le désir de parfaite consonance par rapport à la nécessité d'une flexibilité pratique. Toute échelle basée sur des intervalles purs produira inévitablement des notes hors-d'une seule fois lorsque les mêmes emplacements sont utilisés dans différents contextes harmoniques.

Le rôle des chercheurs arabes et persan

Alors que l'Europe occidentale peaufinait ses échelles, le monde islamique apportait une contribution significative à la théorie de la musique. Des penseurs comme Al-Farabi (XIXe siècle) et Ibn Sina (Avicenna) se développèrent sur les mathématiques grecques, explorant les divisions de l'octave en plus de douze parties. Al-Farabi décrivait une échelle de 17 tons dans son Kitab al-Musiqi al-Kabir (Grand Livre de musique), et des musiciens persan utilisaient un système de 24 tons pour l'ornementation microtonale.

L'élévation du tempérament égal

Le problème des virgules pythagoriennes et les limites de l'intonation juste sont devenus aigus pendant les périodes Renaissance et baroque, les compositeurs ayant de plus en plus recours au chromatisme et aux modulations pour atteindre des touches distantes. La solution qui a finalement triomphé était tempérament égal, un système dans lequel l'octave est divisée en douze demi-tonnes égales, chacune avec un rapport de fréquence de 2^(1/12):1. Dans un tempérament égal, aucun intervalle sauf l'octave n'est parfaitement pur, mais tous les intervalles sont également hors de l'air – un compromis qui permet de jouer de la musique dans n'importe quelle touche sans le remettre en ordre.

La base mathématique du tempérament égal repose sur les logarithmes et les fonctions exponentielles. L'octave est divisée géométriquement : chaque demi-tone multiplie la fréquence par la douzième racine de 2 (environ 1.05946). Cette relation exponentielle signifie que l'ajout de demi-tones égaux correspond à des fréquences de multiplication par un facteur constant, propriété qui a été comprise conceptuellement avant même l'invention des logarithmes par John Napier au début du 17ème siècle.

Jalons historiques: De Werckmeister à Bach

De nombreux praticiens baroques, dont Andreas Werckmeister (1645–1706), ont développé des tempéraments des systèmes de bonne qualité qui n'étaient pas entièrement égaux mais qui permettaient la modulation à la plupart des clés tout en préservant une certaine pureté dans les toniques communs. Werckmeister, le plus célèbre tempérament, publié en 1691, a utilisé un mélange de cinquièmes purs et trempés pour produire une variété de caractères dans les couleurs clés. Johann Sebastian Bach=2 Le Clavier bien tempéré] (1722 et 1742) a été écrit pour démontrer les possibilités d'un clavier accordé dans un tempérament bien, bien qu'il soit souvent mal attribué comme preuve de tempérament égal. Le vrai tempérament égal n'est devenu répandu qu'au XIXe siècle, sous l'impulsion de la normalisation dans les orchestres et du développement de pianos qui pourraient tenir un accord stable.

Mathématiques des échelles majeures et mineures

Dans un tempérament égal, les échelles majeures et mineures sont construites en utilisant un schéma spécifique de marches entières (deux demi-tonnes) et de demi-étapes (une demi-tonne). L'échelle principale suit le modèle W-W-H-W-W-W-H, où W est un pas complet et H est un demi-étape. Ce modèle, qui s'applique à toute clé de départ, donne une séquence d'intervalles par rapport au tonique : unison parfait, deuxième majeur, troisième parfait, cinquième parfait, sixième majeur, septième majeur et octave. Les rapports mathématiques entre ces notes en tempérament égal sont des nombres irrationnels (puisque la douzième racine de 2 est irrationnelle), mais ils approximent les rapports simples d'une simple intonation. Par exemple, le tiers majeur égal-tempéré (400 cents) est proche du tiers majeur seulement (386 cents), mais la différence de 14 cents est audible aux oreilles entraînées.

L'échelle naturelle, avec le motif W-H-W-W-H-W-W, fournit de même un ensemble d'intervalles qui peuvent être ajustés pour former des échelles harmoniques ou mélodiques mineures par des altérations chromatiques. La cohérence mathématique du système à tempérament égal permet à ces modèles de transposer sans heurt, une fonctionnalité sur laquelle les compositeurs et les interprètes comptent pour la modulation.

Variations culturelles : Échelles au-delà de l'Ouest

L'histoire des échelles musicales ne se limite pas à l'Europe occidentale. Différentes cultures ont développé des systèmes d'accord sophistiqués qui reflètent leurs propres principes mathématiques et sensibilités esthétiques.

Musique classique indienne et les 22 shrutis

La théorie de la musique indienne, qui remonte à Natya Shastra (c. 200 BCE–200 CE), décrit une division de l'octave en 22 intervalles microtonaux appelés shrutis[. Contrairement à la demi-tonne égale, la shrutis n'est pas égale en taille; leur placement varie selon la raga[ (mode mélodicien). Les 22 shrutis sont dérivés d'une combinaison d'intervalles naturels, y compris le quatrième (4:3) pur, cinquième (3:2) et octave (2:1). Le système indien privilégie l'expressivité mélodique sur la pureté harmonique, en utilisant des pliages subtils et des ornements microtonaux (gamakas) qui ne peuvent être capturés par la grille des douze-semitone.

Échelles Pentatoniques Chinoises et Douze Lü

La musique chinoise s'est appuyée sur une échelle pentatonique (cinq notes) pour une grande partie de son histoire, avec les notes de base correspondant à peu près aux clés noires sur un piano (C, D, E, G, A). Cependant, la base théorique de l'accordage chinois était le système de douzième-lü, attribué au légendaire Ling Lun vers 2700 avant JC. Ce système a généré douze emplacements par un cycle de cinquièmes ascendants (3:2 ratio), semblable à l'accordage pythagorien. L'accordage n'était pas égal; chaque étape a produit un intervalle légèrement différent.

Maqam arabe et turc

La musique arabe utilise un système de maqam (modes) qui comprend des tons de quart – intervalles d'environ 50 cents, la moitié de la taille d'un semi-ton. L'octave est divisée en 24 parties égales (24 tons égaux tempérament) dans certaines interprétations modernes, bien que la pratique traditionnelle utilise des intervalles de tempérament et de pureté variables. Le système de 24 quarts de ton permet une microtonalité mélodique complexe qui est au centre du caractère expressif de la musique classique arabe et turque.

Perspectives modernes : la microtonalité et au-delà

Les 20e et 21e siècles ont vu une résurgence de l'intérêt pour les réglages alternatifs, défiant l'hégémonie du tempérament égal. Des compositeurs comme Harry Partch (1901-1974) ont construit des instruments personnalisés basés sur des échelles d'intonation simples avec 43 notes par octave, en utilisant des ratios tels que 11:8 et 13:8. Le livre de Partch Génésis d'une musique décrit une théorie détaillée de monophonie – un système où chaque intervalle est accordé à un ratio simple, créant une riche palette harmonique. Son échelle dérive de la série overtone, physiquement produite en divisant une chaîne en longueurs spécifiques.

Un autre chiffre significatif est Wendy Carlos, qui a exploré des tempéraments équivalents alternatifs, tels que les divisions 19, 31 et 53 tons, dans son album Belle dans la Bête (1986). Le tempérament égal de 53 tons, par exemple, offre une excellente approximation des intervalles justes en fournissant plus de degrés par octave, réduisant les erreurs d'approximation qui endommagent le tempérament égal de 12 tons. La logique mathématique derrière ces divisions est que pour un nombre donné d'étapes n], le pas f] est donné par f = 440 × 2^(k/n), où k] est le nombre d'étapes.

Le rôle des logiciels audio et microtonaux numériques

La technologie moderne a démocratisé l'accès à la musique microtonale. Les synthétiseurs logiciels et les stations de travail audio numériques permettent aux musiciens de définir des échelles arbitraires avec un nombre d'étapes égales ou inégales. Des outils comme Scala (un logiciel libre pour l'analyse de l'accord) et des synthétiseurs qui soutiennent MTS (MIDI Tuning Standard) permettent aux interprètes d'expérimenter en temps réel des réglages historiques et nouveaux.

Conclusion: Le dépliage sans fin de la beauté mathématique

L'histoire de l'échelle musicale témoigne de la volonté humaine de comprendre et d'organiser le son à travers l'objectif des mathématiques. Des ratios simples de Pythagore au système complexe à tempérament égal qui sous-tend la musique occidentale aujourd'hui, chaque étape de l'évolution a impliqué des compromis entre pureté, flexibilité, et praticabilité. L'histoire ne se termine pas avec un tempérament égal; les explorations modernes de la microtonalité et de l'accord numérique continuent de repousser les limites de ce qui est musicalement possible.

Pour de plus amples informations sur la théorie des virgules et des accordements de Pythagore, consultez l'article Wikipedia sur la virgule .L'histoire du tempérament égal est bien documentée dans ce résumé.Pour une introduction à l'intonation juste, voir la page Juste Intonation. Ceux qui s'intéressent à la musique microtonale peuvent explorer Musique microtonale sur Wikipedia.Enfin, Harry Partch=s approche unique est décrite dans sa biographie et ses œuvres.